Учебник. Гиперболические функции

Функция $shx=\frac{e^x-e^{\mathrm{-}x}}{2}$ называется гиперболическим синусом. Функция $chx=\frac{e^x+e^{\mathrm{-}x}}{2}$ н азывается гиперболическим косинусом.

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.

Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси. Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси. Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке (–∞; 0) и возрастающей на промежутке (0; +∞). Точка (0; 1) является минимумом этой функции.

Графики функций y = sh x и y = ch x

По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс: $thx=\frac{shx}{chx}\mathrm{,}$  $cthx=\frac{chx}{shx}\mathrm{.}$

Тангенс определён на всей числовой оси, котангенс – при всех x ≠ 0 ($\underset{x\to \mathrm{\pm }0}{lim}cthx=\mathrm{\pm }\infty$). Обе функции непрерывны на всей области определения, нечетны и имеют горизонтальные асимптоты y = –1 (при x → –∞) и y = 1 (при x → +∞).

Графики функций y = th x и y = сth x

Приведём некоторые формулы, связанные с гиперболическими функциями.

Функции, обратные гиперболическим синусу и тангенсу, определены и непрерывны на всей числовой оси. Они обозначаются соответственно arsh x и arth x. У гиперболического косинуса определены сразу две обратные функции: arch_– x при x ≤ 0 и arch₊ x при x ≥ 0.

Графики функций y = arsh x и y = arth x.

Графики функции y = arch_– x и y = arch₊ x.

В заключение приведём формулы для обратных гиперболических функций: $arshx=ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\mathrm{,}$  $x\in ℝ$ $arthx=\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x}\mathrm{,}$ |x| < 1, ${\mathrm{arch}}_{\mathrm{-}}x=ln\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\mathrm{,}$ x ≥ 1, ${\mathrm{arch}}_{\mathrm{+}}x=ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\mathrm{,}$ x ≥ 1.